洛必达法则在高中数学导数题中的应用

来看一道高考题(2010 全国新标卷):

设函数 f(x)=ex1xax2f(x)=e^x-1-x-ax^2
(1) 若 a=0a=0,求 f(x)f(x) 的单调区间;
(2) 当 x0x \geqslant 0f(x)0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围。

直接看第(2)问,我们分离参数得:

aexx1x2a \leqslant \frac{e^x-x-1}{x^2}

g(x)g(x):

g(x)=exx1x2g(x) = \frac{e^x-x-1}{x^2}

g(x)g(x) 求导,可得:

g(x)=x2(ex1)2x(exx1)x4g'(x)=\frac{x^2(e^x-1)-2x(e^x-x-1)}{x^4}

令分子等于 00,解得:

x=0x=0

但是当我们把 x=0x=0 代入 g(x)g(x) 得:

g(0)=00g(0) = \frac{0}{0}

这显然不存在。但是这时可以用洛必达法则直接求出 aa 的取值范围。根据洛必达法则:

limx0+g(x)=limx0+exx1x2=limx0+(exx1)(x2)=limx0+ex12x=limx0+ex2=12\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}g(x) & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{(e^x-x-1)'}{(x^2)'} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{2x} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{aligned}

所以

a12a \leqslant \frac{1}{2}

注意:只有当 g(x0)=00g(x_0)=\frac{0}{0}g(x0)=g(x_0)=\frac{\infin}{\infin} 时,才能使用洛必达法则。

再来看一道题:

kxsinx2+cosx(x>0)kx\geqslant \frac{\sin x}{2+\cos x} (x>0)

分参得:

ksinxx(2+cosx)k\geqslant \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}

g(x)g(x):

g(x)=sinxx(2+cosx)g(x) = \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}

求导:

g(x)=x2sinx(sinx2x)cosxx2(cos(x)+2)2g'(x) = \frac{x-2 \sin x-(\sin x-2 x) \cos x}{x^2 (\cos (x)+2)^2}

00, 解得:

x=0x = 0

代入得:

g(0)=00g(0) = \frac{0}{0}

由洛必达法则:

limx0g(x)=limx0sinxx(2+cosx)=cosxxsinx+cosx+2=13\begin{aligned} \lim_{x \to 0} g(x) & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(2+\cos x)} \\ & = \frac{\cos x}{-x \sin x+\cos x+2} \\ & = \frac{1}{3} \end{aligned}

k13k \leqslant \frac{1}{3}

以上。


悄悄放首歌。


        
文章作者: Sheey
文章链接: https://sheey.moe/article/apply-LHospitas-rule-to-exam/
版权声明: 本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明来自 Sheey的小窝