洛必达法则在高中数学导数题中的应用

来看一道高考题(2010 全国新标卷):

设函数 f ( x ) = e x 1 x a x 2 f(x)=e^x-1-x-ax^2
(1) 若 a = 0 a=0 ,求 f ( x ) f(x) 的单调区间;
(2) 当 x 0 x \geqslant 0 f ( x ) 0 f(x) \geqslant 0 , 求 a a 的取值范围。

直接看第(2)问,我们分离参数得:

a e x x 1 x 2 a \leqslant \frac{e^x-x-1}{x^2}

g ( x ) g(x) :

g ( x ) = e x x 1 x 2 g(x) = \frac{e^x-x-1}{x^2}

g ( x ) g(x) 求导,可得:

g ( x ) = x 2 ( e x 1 ) 2 x ( e x x 1 ) x 4 g'(x)=\frac{x^2(e^x-1)-2x(e^x-x-1)}{x^4}

令分子等于 0 0 ,解得:

x = 0 x=0

但是当我们把 x = 0 x=0 代入 g ( x ) g(x) 得:

g ( 0 ) = 0 0 g(0) = \frac{0}{0}

这显然不存在。但是这时可以用洛必达法则直接求出 a a 的取值范围。根据洛必达法则:

lim x 0 + g ( x ) = lim x 0 + e x x 1 x 2 = lim x 0 + ( e x x 1 ) ( x 2 ) = lim x 0 + e x 1 2 x = lim x 0 + e x 2 = 1 2 \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}g(x) & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{(e^x-x-1)'}{(x^2)'} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{2x} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{aligned}

所以

a 1 2 a \leqslant \frac{1}{2}

注意:只有当 g ( x 0 ) = 0 0 g(x_0)=\frac{0}{0} g ( x 0 ) = g(x_0)=\frac{\infin}{\infin} 时,才能使用洛必达法则。

再来看一道题:

k x sin x 2 + cos x ( x > 0 ) kx\geqslant \frac{\sin x}{2+\cos x} (x>0)

分参得:

k sin x x ( 2 + cos x ) k\geqslant \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}

g ( x ) g(x) :

g ( x ) = sin x x ( 2 + cos x ) g(x) = \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}

求导:

g ( x ) = x 2 sin x ( sin x 2 x ) cos x x 2 ( cos ( x ) + 2 ) 2 g'(x) = \frac{x-2 \sin x-(\sin x-2 x) \cos x}{x^2 (\cos (x)+2)^2}

0 0 , 解得:

x = 0 x = 0

代入得:

g ( 0 ) = 0 0 g(0) = \frac{0}{0}

由洛必达法则:

lim x 0 g ( x ) = lim x 0 sin x x ( 2 + cos x ) = cos x x sin x + cos x + 2 = 1 3 \begin{aligned} \lim_{x \to 0} g(x) & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(2+\cos x)} \\ & = \frac{\cos x}{-x \sin x+\cos x+2} \\ & = \frac{1}{3} \end{aligned}

k 1 3 k \leqslant \frac{1}{3}

以上。


悄悄放首歌。


          
文章作者: Sheey
文章链接: https://sheey.moe/article/apply-LHospitas-rule-to-exam/
版权声明: 本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明来自 Sheey的小窝